fiyatlama modelleri

Opsiyon priminin (fiyatının) hesaplanmasında kullanılmak üzere iki temel yöntem geliştirilmiştir:

2.8.1. Black & Scholes Modeli[1]

Avrupa tipi ve kar payı  ödemeyen hisse senetleri üzerine yazılan opsiyonlar için geliştirilen bu model, döviz opsiyonlarında da kullanılabilmektedir.

C = S N(d₁) - K e ^-rt N(d₂)

d₁ = ln(S/K) + (r + 0,5 s_s²)t / s_sÖt

d₂ = d₁ - s_s Öt

N(d₁), N(d₂)    Nominal dağılım tablosunda d₁ ve d₂ ye karşı gelen değerlerdir: vadede fiyatın ortalamadan d₁ ve d₂ standart sapma gösterme olasılıklarıdır.

Örnek[2]: Avrupa tipi bir alım opsiyonun priminin hesaplanması:

S = $98 (spot piyasa fiyatı)

K = $100 (kullanım fiyatı)

t = 0,25 (3 ay)

r = %5 (0,05)

s_s² = %25 (0,25) (varyans)

s_s = 0,5 (standart sapma)

                                                = 0,0942

d₂ = 0,0942 – (0,5)Ö0,25

                                                             = -0,1558

N(d₁) = N(+ .0942)

N(d₂) = N(- .1558)

Normal dağılım tablosundan;

N(.09) = .5359

N(.10) = .5398

N(.0942), N(.09) ve N(.10) arasında bulunduğu için;

N(.0942) = N(.09) + (42/100) ( N(.10) – N(.09) )

    = .5359 + (42/100) (.5398 - .5359)

    = .5375

Aynı şekilde;

N(-d) = 1 – N(d)

N(-.1558) = 1 – N(.1558)

N(.15) = .5596

N(.16) = . 5636

                        N(.1558) = N(.15) + (58/100) ( N(.16) – N(.15) )

                                        = .5596 + (58/100) (.5636 - .5596)

                                        = .5619

1 – N(.1558) = 1 - .5619

     =  .4381

C = S N(d₁) - K e ^-rt N(d₂)

C = 98 (.5375) – 100 e^-.05(.25) (.4381)

C = $9.41

2.8.2. Binom Modeli (Cox, Ross & Rubinstein Formülü)

Amerikan tipi opsiyonların fiyatlamasında kullanılan bu model, kısa bir zaman diliminde fiyatlarda iki yönde (binomial)  değişim olabileceği esasına dayanmaktadır. Modelin varsayımları;

- Piyasaların mükemmel işlediği ve rekabetin söz konusu olduğu; yatırımcıların tek bir faiz oranı, r, ile nakit ödünç alıp verebildikleri,

- Yatırımcıların daha fazla serveti daha az servete tercih ettikleridir.

Görüldüğü gibi temel prensip, sermaye piyasasının dengede olduğu bir durumda alım ve satım opsiyonlarının fiyatlaması ve bu opsiyonlar kullanılarak oluşturulan portföylerin beklenen getirisinin risksiz faiz oranına eşit olmasıdır[3].

2.8.2.1. Tek Dönemlik Binom Dağılım Modeli

Opsiyonun vadesinin dolmasına bir dönem kaldığı varsayılmaktadır.

Bu modele göre Dt zaman diliminde hisse senedinin fiyatı ya (p) olasılığı ile u kadar yukarı, ya da (1-p) olasılığı ile kadar aşağı doğru hareket edecektir. Böylelikle hisse senedinin fiyatı;

Fiyat yükseldiğinde    :           S_U

Fiyat düştüğünde        :           S_D

şeklinde olacaktır.

Grafik 2.3: Tek Dönemlik Binom Modeli

Vade sonunda oluşan hisse senedi fiyatına göre bir alım opsiyonunun fiyatı aşağıdaki gibi olacaktır:

C_U = Max[0, S(1 + u) - K]

C_D = Max[0, S(1 + d) - K]

p = (r – d) / (u – d)

1-p = (u – r) / (u – d)

Bu formüllerle bugünkü call (alım) fiyatı (C₀) elde edilir[4]: 

C₀ = C_U p + C_D (1 – p) / r

2.8.2.2. İki Dönemlik Binom Dağılım Modeli

Dönem sayısı ikiye çıktığında da call (alım) opsiyonunun prim fiyatı tek dönemlik modelde kullanılan yöntemlerle hesaplanır.

- İlk dönemin sonunda S_U değerine yükselen fiyat, ikinci dönemin sonunda ya yükselip S_UU, ya da düşüp S_UD değerini alacaktır.

            - İlk dönemin sonunda S_D değerine düşen fiyat, ikinci dönemin sonunda ya S_DU değerine yükselecek, ya da tekrar düşerek S_DD değerini alacaktır. 

Grafik 2.4: İki Dönemlik Binom Modeli

Dolayısıyla ikinci dönemin sonunda üç adet olasılık söz konusu olacaktır. Aynı zamanda, opsiyon fiyatları da hisse senedinin fiyatına bağlı olarak değişecektir:

C_UU = Max[0, S(1 + u)² - K]

C_UD = Max[0, S(1 + u)(1 + d) - K]

C_DD = Max[0, S(1 + d)² - K]

p = (r – d) / (u – d)

1-p = (u – r) / (u – d)

Formüllerden yararlanarak, vadesinin dolmasına iki dönem kalmış bir alım opsiyonun fiyatı şu şekilde hesaplanabilecektir[5]:

C₀ = p² C_UU + 2p (1 – p) C_UD + (1 – p)² C_DD /  r²

---

[1] Daigler, R., “Financial Futures&Options Markets,Concepts and Strategies”, Harper Collins College Publishers, 1994

[2] Daigler, R., “Financial Futures&Options Markets,Concepts and Strategies”, Harper Collins College Publishers, 1994

[3] http://www.baskent.edu.tr/~gurayk/

[4] Erol, Ü., “Vadeli İşlem Piyasaları Teori ve Pratik”

[5] Erol, Ü., “Vadeli İşlem Piyasaları Teori ve Pratik”